置信区间：覆盖率与偏差

更换样本，置信区间会移动；总体均值保持固定。95% 描述的是：在假设成立时，反复抽样并使用同一方法，有多大比例的区间能够覆盖这个均值。一个区间算出之后，它要么包含均值，要么不包含。NIST 明确区分了这两个视角。

这里刻意采用简单模型：n 个相互独立的观测值，均服从均值为 μ、标准差为已知正数 σ 的正态分布。这些是数学假设，不是对某个学习者群体的调查结论。

记均值的标准误为 s = σ/√n。标准化误差 Z = (X̄ − μ)/s 服从标准正态分布。设 Φ 是其累积分布函数，z = Φ⁻¹(0.975) ≈ 1.95996，则 P(−z ≤ Z ≤ z) = 0.95。对同一个事件整理不等式，就得到 μ ∈ [X̄ − zs, X̄ + zs]。覆盖率来自这一分布关系，而不是区间的外观。

在本文构造的敏感性模型中，将区间中心平移 δ，并保持宽度不变：Iδ = [X̄ + δ − zs, X̄ + δ + zs]。定义标准化偏差 b = δ/s。此时，覆盖均值要求 −z − b ≤ Z ≤ z − b，因此覆盖率 = Φ(z − b) − Φ(−z − b)。

b = 0 时，覆盖率恢复为标称水平。增大 |b| 会使覆盖事件对应的范围远离正态曲线中心，其中的概率随之下降。这是所构造模型的数学结果；图中的曲线不是实测成功率。

较小的标准误不会消除固定偏移 δ。n 增大时，区间收窄，而 |δ|/s 增大。因此，围绕偏移中心的估计更精确，也可能同时更难覆盖原本要估计的目标。

理解一个区间时，应同时看它的估计目标、抽样假设和构造方法。这里的偏差模型只分离出一种失效机制；它没有量化观测相关、σ 未知或总体分布不同所造成的全部影响。